Desvio médio, desvio padrão e variação no processamento de sinais

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Este artigo discute três medidas estatísticas descritivas da perspectiva de aplicativos de processamento de sinais.

No artigo anterior sobre estatística descritiva para engenheiros elétricos, vimos que tanto a média quanto a mediana podem transmitir a tendência central de um conjunto de dados. Apesar de as medianas serem menos sensíveis a outliers, os meios são usados ​​com mais frequência em eletrônica e processamento de sinais digitais. A média aritmética é, de fato, uma técnica estatística essencial em engenharia elétrica.

No entanto, frequentemente precisamos de mais do que um meio para descrever ou compreender adequadamente um conjunto de dados.

Quando relatamos apenas a tendência central, não estamos considerando um aspecto importante dos dados – ou seja, a maneira como os valores se desviam da tendência central.

 

Desviando da Média

Vamos imaginar que digitalizamos dois sinais de entrada analógica. Se convertermos os códigos digitais de volta em unidades de volts e plotarmos as formas de onda de tempo discreto, eles se parecerão com isto:

Podemos fazer uma estimativa muito boa das médias apenas olhando para o gráfico: a tendência central do sinal azul é 1,2 V e para o sinal vermelho é 0,8 V. Mas se reportarmos nada mais do que as médias, iremos dá a impressão de que a única diferença importante entre esses dois sinais é a diferença de 0,4 V no valor médio (ou podemos chamá-la de nível DC ou offset DC). Claramente, há mais nesta história.

Um engenheiro elétrico identificará instintivamente essas formas de onda como sinais CC constantes (tensões de alimentação, talvez) que incluem um pouco de ruído.

Mais importante, reconhecemos imediatamente que o sinal azul é significativamente mais ruidoso do que o sinal vermelho. Esta grande diferença no desempenho do ruído é perdida se considerarmos apenas a média.

A propósito, por que percebemos ruído nesses sinais? Porque

  • os valores individuais desviam visivelmente do valor médio,
  • eles fazem isso de uma forma que parece aleatória, e
  • os desvios são pequenos em relação ao valor médio.

Quando um estatístico vê pequenos desvios aleatórios da média, um engenheiro elétrico vê ruído.

 

Desvio Médio

Esses sinais são barulhentos? Bastante barulhento? Muito barulhento? Vamos tentar dar uma resposta mais precisa a essa pergunta. Em outras palavras, precisamos quantificar o desvio nesses conjuntos de dados.

Meu primeiro instinto ao quantificar o desvio é encontrar a distância entre cada ponto de dados e a média e então calcular a média de todas essas distâncias. Isso forneceria o desvio médio (também chamado de desvio médio absoluto), ou seja, o valor típico pelo qual os valores se desviam da tendência central. Aqui está o desvio médio na linguagem matemática:

onde N é o número de valores no conjunto de dados, μ é a média e x [k] é o sinal representado como uma função da variável de tempo discreto k.

Neste gráfico, as linhas horizontais indicam os níveis de tensão que estão um desvio médio acima e abaixo da média.
Neste gráfico, as linhas horizontais indicam os níveis de tensão que estão um desvio médio acima e abaixo da média.

Embora o desvio médio seja intuitivo, não é o método mais comum de quantificar a tendência de um sinal de se desviar da média. Para isso, precisamos do desvio padrão.

No contexto da engenharia elétrica, o problema com o desvio médio é que estamos calculando a média das diferenças de tensão (ou corrente) e, portanto, estamos operando no domínio da amplitude. A natureza dos fenômenos de ruído é tal que enfatizamos a potência sobre a amplitude ao analisar o ruído e, conseqüentemente, precisamos de uma técnica estatística que opere no domínio da potência.

Felizmente, isso é facilmente obtido. A potência é proporcional ao quadrado da tensão ou corrente e, consequentemente, tudo o que precisamos fazer é elevar ao quadrado o termo da diferença antes da soma e da média. Este procedimento resulta em uma medida estatística chamada variância, denotada por σ2 (pronunciado como “sigma ao quadrado”):

Podemos descrever a variância como a potência média dos desvios aleatórios do sinal expressos como potência. Isso significa que a variância não tem a mesma unidade dos valores com os quais começamos. Se estivermos analisando flutuações em um sinal de tensão, a variância tem unidades de V2 em vez de V.

Se quisermos expressar a tendência de um sinal de desviar aleatoriamente usando a unidade original, devemos compensar o quadrado de cada diferença aplicando a raiz quadrada ao valor final:

Este procedimento gera uma medida estatística conhecida como desvio padrão, ou seja, a potência média dos desvios aleatórios do sinal expressa como amplitude. Assim, se estivermos analisando um sinal de tensão, o desvio padrão tem unidades de V, apesar do fato de termos calculado o desvio padrão usando o quadrado dos desvios de tensão.

Neste gráfico, as linhas horizontais indicam os níveis de tensão que estão um desvio padrão acima e abaixo da média.

 

A variância e o desvio padrão expressam as mesmas informações de maneiras diferentes. Embora a variância seja, pelo que entendi, mais conveniente em certas situações analíticas, o desvio padrão é geralmente preferido porque é um número que pode ser interpretado diretamente como uma medida da tendência de um sinal de se desviar da média.

 

Conclusão

O desvio padrão e a variância são técnicas estatísticas essenciais que surgem com frequência nas ciências e nas ciências sociais. Espero que este artigo tenha ajudado você a entender a conexão básica entre esses conceitos e sinais elétricos, e veremos alguns detalhes interessantes relacionados ao desvio padrão no próximo artigo.

 

 

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